결혼 상대는 후보 10명중 4명째에서 선택하는 것이 최적 임을 증명하라(베이지안 확률과정)

(인터넷에서 과거에 있었던 글인데 출처는 불명입니다. 혹시 아시는 분은 말씀주시길)

다음 링크는 이 문제를 재서술한 것: 

https://jinseob2kim.github.io/propose.html

상황 가정

: 한 여성에게 100명의 남자가 순차적으로 프로포즈 한다

: 첫번째 프로포즈 허락하면 나머지 99명은 못 본다, 마찬가지로 99번 거절하면 100번째와 결혼해야 한다.

: 100명의 남자의 분포는 랜덤이다. 즉, 어떤 남자가 왕자인지 모른다.

: 여자는 r번째까지는 튕기고 r+1 번째 남자부터는 r번째까지 본 남자를 기반으로 고려할 때가장 괜찮다면 결혼한다.

문제: 여성은 몇 명을 튕긴 후 선택해야 가장 괜찮은 남자와 결혼할 수 있을까?

해결:

베이지안 조건부 확률 접근

B : 여자가 왕자를 선택할 확률.

A1 : 왕자가 1번째로 프로포즈해 올 확률.

A2 : 왕자가 2번째로 프로포즈해 올 확률.

.......

A100 : 왕자가 100번째로 프로포즈해올 확률.

이 경우 왕자를 선택할 확률=P(B) 은 다음과 같다

(참고: P(B/A1)란 A1이라는 사건이 일어났다는 가정하에 B가 일어날 확률, 즉, 왕자가 1번째로 프로포즈 하고 여자가 이를 받아들일 확률)

P(B) = P(A1)*P(B/A1) + P(A2)*P(B/A2) + ... +P(A100)P(B/A100)    _____________  식(1)

우리의 목표(=몇명까지 튕기는게 합리적인가?)는 왕자를 만날확률=P(B)를 최대화시키는 것이다. 즉, MAX[P(B)]이를 위해 여성이 r명까지는 튕기고 그 다음부터 만나는 남자 중 제일 멋진 남자와 결혼하기로 결정했다고 가정하자.

그러면 P(B/A1)=0, P(B/A2)=0, ..... , P(B/Ar)=0 이다. r명까지는 튕기기로 했기 때문이다.

남자의 분포는 랜덤이므로 P(A1)=P(A2)=...=P(A100)= 1/100   로 모두 같다.

P(B|Ar+1)=1 이다. r+1번째에 왕자가 프로포즈했다면 이 남자는 지금까지 튕긴 r번째 남자들보다는 확실히 더 나을 것이므로 당연히 여자는 이를 선택할 것이다.

이를 토대로 P(B|Ar+2)를 구해보자

만약 r+2번째가 왕자인데 r+1번째 남자가 기존 r명보다 괜찮아서 r+1번째 남자의 프로포즈를 ok한다면, 이는 여자에게 실패다.

따라서 r+1번째 남자가 기존 r명의 남자보다 떨어지는 남자여야 실패 확률이 줄어든다.

이를 다시 정리하면 r+1번째까지 만난 남자 중 제일 괜찮은 남자가 r+1번째 남자만 아니면 된다. 왜? r번째까지는 무조건 튕길 것이기 때문이다.1,2,3,...,r,r+1번째 중 r+1번째만 아니면 되니까 확률은 r/(r+1)이다.

P(B/A(r+1)) = 1 = r/r   (r+1번째로 백마탄 왕자가 프로포즈 해 왔다면 r명까지 튕긴 여자는 이전에 본 r명보다 더 멋진 남자를 바로 만나버린 거니까 백마탄 왕자 픽업할 확률은 100%)

P(B/A(r+2))=r/(r+1)

P(B/A(r+3))=r/(r+2)

...

P(B/A(99))=r/99

P(B/A(100))=r/100

이 결과를 앞의 식(1)에 대입하면

P(B)=1100×(1+rr+1+rr+2+⋯+r99+r100=1100∑x=r100rx

계산의 편의를 위해 적분을 통해 근사값을 구하자

P(B)=1100∑x=r100rx≃r100∫100r1xdx=r100×(ln100−lnr)

(답)

r = 100/e = 약 37

한 여자에게 프로포즈하는 남자의 숫자가 100명이라고 하면 여자는 최초 37명까지는 튕겨볼 수 있어도 38번째부터는 튕겨서는 안되며 나름 괜찮다 싶으면 잡아야 한다.

현실적으로 여성에게 프로포즈 하는 남자가 5명쯤 된다면 최초 한 명은 튕겨볼 수 있으나 2번째 남자가 프로포즈해 올 경우 첫번째 남자보다 낫기만 하다면 프로포즈를 받아들이는 것이 합리적이다

 

인간이 약자를 남기는 진화론적 이유

흔한 오해는 자연이 약육강식이라는 것이다. 그러나 호랑이는 토끼보다 강하지만 멸종위기종이다. 약육강식이 아니라 적자생존이다. 이를 약육강식이라고 잘못 받아들이면 곤란하다. 또 ‘생존’의 개념은 유전자 수준에서의 생존이다. 유전자는 개체와 다르며 개체의 행복과 무관하게 생존에 관련한 의사결정만 한다. 종의 수준에서 이점을 기억해야 한다.

환경에 적응한다는 것은 자연에 대한 관점의 차이다. 관점은 무한히 많을 수 있다. 나무늘보다 심해생물처럼 대사율을 극단적으로 떨어트리는 예에서 보듯이 꼭 활발할 필요는 없다. 공룡처럼 거대할 필요도 없다. 다산, 소산, 대식, 소식, 빠른 것, 느린 것, 날으는 것, 뛰는 것, 모든 형태가 가능하다. 중요한 것은 적응이다.

인간의 적응 기제는 ‘사회성’이다. 고도로 기능적 사회를 만들고 상호작용으로 개체와 군체를 보호한다. 이 경우 집단 내에 개별적으로는 장기생존이 불가능한 개체(소위 약자)가 있는데 이들도 보호하면서 자손의 번영 가능성을 최대화한다. 약제를 제거하는 것이 더 유리할 것이라고 생각하기 쉽지만 이 또한 앞서 언급했던 적자생존을 잘못 이해한 데서 비롯된다.  

우수한 유전자라는 것은 없다. 자연에 우열은 없다. 인간의 인식이 만들어낸 허상이다. 있다고 한다면 ‘특정환경’에서 ‘유효할지도 모르는 유전자’다. 이는 흉년에 대비해 곡식을 쌓아두는 보험과 유사하다. 곡식을 쌓아두면 당장 먹을 양이 줄고 흉년이 안 올수도 있으며 보관중 썩어서 버릴 수도 있다. 그러나 만에 하나 흉년이 오면 일족이 멸종한다. 마찬가지로 환경이 어떻게 바뀔지 모르기 때문에 다양한 형질, 요컨데 쓸모없어 보이고 약자처럼 여겨지는 형질이라도 없애지 않고 보관해두는 것이다. 이것은 종의 보전과 번영에 치명적으로 중요하다. 

키가 작거나 근육이 부족한 형질이 어디에 도움이 된다는 말인가? 라는 물음은 어리석은 질문이다. 그것이야 말로 자연의 속성이며 무수한 가능성의 가지가 뻗어나갈 수 있음을 보여준다. 환경이 아무존의 정글이라면 현대은 모두 약자가 될 것이다. 발톱도 없고 이빨도 약하다. 그 약자들이 모여서 가능한 약자를 살리고 데려가는 것이 호모사피엔스의 생존전략이다. 그런면에서 약자와 소수자를 보호하는 것이야말로 잔인한 자연의 법칙에 순응하는 것이다. 여기에는 가치관이 개입할 여지가 없다.

 

혁신이란 무엇인가?

혁신이란 무엇인가?

ㅇ 현재 높은 월급을 주는 IT기업들 및 IT, 바이오, 밴처 스타트업들이 부지기수로 있다. 이들의 월급 수준은 굴지의 대기업을 앞선다. 그러나 그들이 혁신적이어서 월급을 많이 주는지, 월급을 많이 줘서 유명해지다보니 혁신적으로 알려진 것인지는 확실치 않다. 그들이 혁신적이라고 받아들여지는(?) 상황은 정말 혁신적이어서 일수도 있고 세계적으로 돈이 많이 풀려서인지, 돈이 썩어나서 이익과 관련없이 돈이 몰려서인지, 알 수 없다. 아니 그 때문일 것이다. 수영장에 물이 빠지면 어떻게 될 것 같나? 

ㅇ 돈을 못 버는 회사여도 자본은 들어간다. 더 큰 바보에게 더 비싸게 팔아 넘겨서 엑시트 하면 되기 때문이다. 벤처 투자나 스타트업 투자의 본질이 특출난 미래 성장이라고 본다면 인간의 속성부터 먼저 공부하고 와야 할 것이다.  

ㅇ 스타트업과 IT대기업의 투자가 늘고 있는데 한순간이다. 이익규모가 인력규모를 유지할 만큼 늘어나는 회사는 거의 없다. 거대한 구조조정이 있을 것이고 빙하기가 다가올 것이며 거지가 되는 투자자가 속출할 것이다. 제발 내가 틀려서 그렇기 되지 않아 대한민국이 발전하기를 기도한다.

ㅇ 기업은 돈을 벌어야 한다. 수익이 보이지도 않는 업에 뛰어들어 규모를 키워서 지배한다? 기업을 모르는 것이다. 배달하고 중고거래하고 모텔 소개해줘서 그 인력을 유지하고 투자금을 갚아준다고? ㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎ 시중에 돈이 어디까지 풀리고 영원히 그럴지 두고봐야 할 것이다. 

ㅇ 글로벌 대기업은 OS를 독점 공급하고 강력한 플랫폼을 구성했다. 이것은 어느 한 기업이 해낼 수가 있다고 보나? 플랫폼 기업이 혁신적이라고? 전혀 동의할 수 없다. 과거의 싸이월드와 네이트온이 훨씬 더 혁신적이다. 그런데 왜 한국에서는 페이스북과 구글이 나오지 않았을까? 거대 기업과 독점력은 사용자의 생태계의 숫자, 즉 규모가 중요하다. 또 지금은 이것이 국가차원의 경쟁이 되었다. 한국은 내수만 먹기에는 너무 작고 엄청난 견제, 교육과 언어, 정부의 규제, 반기업정서 등 모든 면에서 세계적 소프트웨어와 플랫폼 기업이 자랄 환경이 아니다. 네이트온, 하두리, 싸이월드, 삼성페이가 미국이나 중국에서 나왔다면 분명 세상을 지배했다.

ㅇ 혁신이라는 것은 신기루다. 돈과 권력이 가는 곳에 혁신이 있다. 힘의 논리고 사후적으로만 알 수 있다. 

War is peace, Freedom is slavery, Ignorance is strength.

War is peace, Freedom is slavery, Ignorance is strength.

전쟁은 평화, 자유는 속박, 무지는 힘.

- 1984 '오세아니아'국가의 공식 슬로건

위험관리 규칙 9가지 - 나심 탈레브

source: https://blog.fxcc.com/nassim-talebs-major-rules-of-thumb-trading-advice

1. 이해하지 못하는 시장과 제품에 투자하지 마라

2. 미래의 위험을 측정할 때 과거를 참고하지 마라. VAR등은 과거 지표다.

3. 보고 들은 것의 절반만 믿어라. 가능한 모든 이론적 연구를 읽고 천천히 통찰을 얻어가라.

4. 꾸준히 잘 버는 트레이더는 한번에 모두 잃는다. 반대로 변동성 매도자는 대부분의 기간에 잃고 한번에 크게 번다. 이들은 각자의 전략에 맞는 투자자를 유혹한다

5. 가장 몰려있는 헤지 포지션이 가장 위험하다. 최고의 헤지는 나 혼자하고 있는 헤지다.

6. 가격을 매일 모니터링하라. 이는 과거 통계보다 더 강한 본능적 추론을 가져온다.

7. "~~라는 이벤트는 과거에 발생한 적이 없다(혹은 적다)" A가 아직 죽은 적이 없다면 그는 불사신인가? (흄의 귀납 문제) 시장에서는 새로운 기록이 늘 발생한다.

8. 강 깊이가 평균 4피트라는 말을 믿고 건너려고 하지 마라

9. 다른 트레이더나 투자대가의 실패사례를 연구하라. 그들의 성공사례는 쓰레기 정도가 아니라 당신의 돈을 잃게 만드는 원인이다. 

리만 제타함수(소수의 분포)와 전자의 에너지 준위 분포

ㅇ1859년 독일한 수학자 베른하르트 리만이 소수의 분포를 연구한 논문에서 다음을 주장

- 리만제타함수의 비자명근(Non-trivial zeros)의 실수부는 모두 1/2이다

ㅇ리만제타함수는

1. s=1/2을 기준으로 대칭.

2. s=-2n에서 함수 값이 0.

Γ(s/2)가 식에 포함되어 있는데 감마함수는 음의 정수에서 발산. 식이 의미를 갖기 위해서는 s=-2n 일 때 리만제타함수가 0이 되어야 한다. 이 때 s=-2n인 점들을 자명한 근(trivial zeros)라고 부른다 s=-2n이 아닌 다른 지점에서 0이되게 하는 값들이 비자명근(Non-trivial zeros)이다.

ㅇ리만은 앞서 논문에서 계산을 통해 직접 비자명근을 4개 구한다. 이 근들은 모두 실수부가 1/2이었는데 논문에서는 이것이 우연이 아닌 진실이라고 가정한다. 이것을 진실인지 증명하는 것이 리만가설

ㅇ리만가설이 참이라면 소수의 분포를 나타내는 제타함수가 진정 소수의 참된 분포라고 믿을 수 있다.

ㅇ 프린스턴 고등연구소의 점심 티타임 때 연구소 근무 중이었던 몽고메리 박사는 소수 자체는 불규칙적인 분포를 가지나 소수의 분포를 표현하는데 필요한 리만제타함수의 근은 비교적 균등한 분포를 갖는 것에 의문을 가진다.

​ㅇ 티타임 때, 다이슨박사에게 유도식을 보여준다. 다이슨 박사는 이 방정식이 양자역학에서 입자의 에너지 분포에 관한 식과 일치함을 알려준다.

ㅇ 물리적인 방식으로 리만가설에 접근하는 것을 Hilbert–Pólya conjecture 라고한다.