몬티 홀(Monty Hall) 문제

문제

ㅇ 닫힌 문 3개가 있는데 한개는 자동차, 두개는 염소가 있다. 당신이 문을 열면 상품을 얻는다.

ㅇ 행사를 진행하는 사회자는 자동차가 어느 문 뒤에 있는지 알고 있다.

ㅇ 당신이 문을 선택하면 (그 문은 닫힌채로) 사회자는 선택하지 않은 나머지 두 문 중에 염소가 있는 문 (아무거나) 한 개를 열어 확인시켜준다. (사회자는 염소가 들어 있는 문을 알고 있고 임의로 선택한다)

ㅇ 그 후 사회자는 당신에게 방금 선택한 문을 다른 문으로 바꿀 것인가 기회를 준다.

ㅇ 바꾸겠는가?

정답: 바꾸는 것이 이익, 선택을 바꾸면 차를 선택할 확률이 1/2에서 2/3로 올라가기 때문

대부분이 사람은 직관적으로 중간에 선택을 바꾸던 말던 확률은 1/2일 것이라고 생각한다. 최초의 선택 뒤에 염소가 있던 차가 있던, 염소가 있는 문은 한 개 또는 두 개가 남아있을 것이라고 생각한다. 이러한 오류의 원인은 맨 처음 어떤 문을 선택했느냐에 따라 사회자가 공개하는 문이 달라진다는 점을 간과하기 때문이다. 정확히는 바꾼 문이 정답일 확률이 아니라 내가 처음에 고른 문이 오답일 확률이다.

실제로 대부분의 사람은 처음의 선택을 유지한다. 앞서 언급한 기대값은 물론 심리학적으로도 그런데 사람은 이득보다 손해에 민감하게 반응하기 때문이다(전망이론). 괜히 바꿨다가 원래 선택한 문에 자동차가 있었으면 매우 억울하기 때문이다.

선택을 바꾸면 확률이 올라가는 이유는 이것이 베이즈 문제이기 때문이다. 만약 당신이 선택을 무조건 바꾼다고 가정하자. 만약 첫번째 선택이 실제로 염소였는데 바꾼다면 반드시 차를 얻는다. 반대로 첫번째 선택이 차였는데 바꾼다면 염소만 얻는다. 무조건 선택을 바꿀시 염소 확률이 1/2이다. 이는 처음에 염소를 선택할 확률 2/3보다 훨씬 낮은 것(차를 뽑을 확률이 높은 것)이다. 

보다 직관적 설명은 이렇다. 맨 처음 내가 가짜를 고르는 순간(2/3확률) 사회자가 나머지 가짜를 골라줄 것이기에 다른 카드로 바꾸면 무조건 정답이므로 그대로 2/3확률. 나머지 확률은 계산할 필요도 없이 1/3확률. 말하자면 내가 처음 가짜를 고를 확률이 더 높기에 다른 나머지 문을 사회자가 가짜로 확인해준다면 역설적으로 제일 마지막에 남은 문이 진짜일 확률이 높아지는 것이다.